Giải:

a) Xét \(y'=3x^2+2mx\)

Ta thấy \(y'=3x^2+2mx=0\) có \(\Delta'=m^2>0\forall m\neq 0\) nên luôn có hai nghiệm phân biệt, đồng nghĩa với hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu với mọi \(m\neq 0\)

b) Đồ thị hàm số luôn cắt trục hoành tại điểm có hoành độ dương với mọi giá trị của $m$ nghĩa là phương trình \(x^3+mx^2-1=0\) luôn có nghiệm dương với mọi \(m\)

Xét hàm $y$ liên tục trên tập xác định.

Nếu \(m>0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(m+1)=(m+1)^3+m(m+1)^2-1>0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(m+1)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0;m+1)\), tức là nghiệm dương.

Nếu \(m<0\) có \(\left\{\begin{matrix} f(0)=-1<0\\ f(1-m)=m^2-2m>0\forall m<0\end{matrix}\right.\Rightarrow f(0).f(1-m)<0\)

Do đó phương trình luôn có nghiệm thuộc khoảng \((0,1-m)\) , tức nghiệm dương

Từ hai TH ta có đpcm.

c) Để pt có $3$ nghiệm phân biệt thì \(y'=3x^2+2mx\) phải có hai nghiệm phân biệt \(x_1,x_2\) thỏa mãn \(f(x_1)f(x_2)<0\)

Kết hợp với định lý Viete:

\(\Leftrightarrow x_1^3+x_2^3+m(x_1^2+x_2^2)-1>0\)

\(\Leftrightarrow 4m^3-27>0\Leftrightarrow m>\frac{3}{\sqrt[3]{4}}\)

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m²  + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

y’ = 3x² – 2mx – 2 , ∆’ = m² + 6 > 0 nên y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt và y’ đổi dấu khi qua các nghiệm đó.

Vậy hàm số luôn có một cực đại và một cực tiểu.

.

1.

Đồ thị hàm bậc 3 có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía trục hoành khi và chỉ khi \(f\left(x\right)=0\) có 3 nghiệm phân biệt

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2+mx+m-2=0\) có 3 nghiệm pb

\(\Leftrightarrow x^3+3x^2-2+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x-2\right)+m\left(x+1\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x+1\right)\left(x^2+2x+m-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=-1\\x^2+2x+m-2=0\left(1\right)\end{matrix}\right.\)

Bài toán thỏa mãn khi (1) có 2 nghiệm pb khác -1

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}1-2+m-2\ne0\\\Delta'=1-\left(m-2\right)>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow m< 3\)

2.

Pt hoành độ giao điểm:

\(\dfrac{2x-2}{x+1}=2x+m\)

\(\Rightarrow2x-2=\left(2x+m\right)\left(x+1\right)\)

\(\Leftrightarrow2x^2+mx+m+2=0\) (1)

d cắt (C) tại 2 điểm pb \(\Rightarrow\) (1) có 2 nghiệm pb

\(\Rightarrow\Delta=m^2-8\left(m+2\right)>0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m>4+4\sqrt{2}\\m< 4-4\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Khi đó, theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_A+x_B=-\dfrac{m}{2}\\x_Ax_B=\dfrac{m+2}{2}\end{matrix}\right.\)

\(y_A=2x_A+m\) ; \(y_B=2x_B+m\)

\(\Rightarrow AB^2=\left(x_A-x_B\right)^2+\left(y_A-y_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2+\left(2x_A-2x_B\right)^2=5\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A-x_B\right)^2=1\)

\(\Leftrightarrow\left(x_A+x_B\right)^2-4x_Ax_B=1\)

\(\Leftrightarrow\left(-\dfrac{m}{2}\right)^2-4\left(\dfrac{m+2}{2}\right)=1\)

\(\Leftrightarrow m^2-8m-20=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}m=10\\m=-2\end{matrix}\right.\)

3.

\(y'=x^2-2mx+2\left(m-1\right)\)

Hàm có 2 điểm cực trị nằm về cùng phía đối với trục tung khi và chỉ khi \(y'=0\) có 2 nghiệm pb cùng dấu

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}\Delta'=m^2-2\left(m-1\right)>0\\ac=1.2\left(m-1\right)>0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m^2-2m+2>0\left(\text{luôn đúng}\right)\\m>1\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow m>1\)

Xét \(f'\left(x\right)=4x^3+3mx^2+2mx+m=0\Leftrightarrow m\left(3x^2+2x+1\right)=-4x^3\)

                 \(\Leftrightarrow\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) 

Xét hàm số : \(g\left(x\right)=\frac{-4x^3}{3x^2+2x+1}\) có tập xác định : \(D_g=!\)

\(g'\left(x\right)=\frac{-4x^2\left(3x^2+2x+1\right)}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}=\frac{-4x^2\left[2\left(x+1\right)^2+x^2+1\right]}{\left(3x^2+2x+1\right)^2}\le0\) với mọi \(x\in!\)

\(\lim\limits g\left(x\right)_{x\rightarrow\infty}=\lim\limits_{x\rightarrow\infty}\frac{-4x}{3+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}}=\infty\)

Nghiệm của phương trình \(f'\left(x\right)=0\) cũng là giao điểm của đường thẳng y=m với đồ thị y = g(x)

Lập bảng biến thiên ta có đường thẳng y=m cắt y =g(x) tại đúng 1 điểm 

\(\Rightarrow f'\left(x\right)=0\)

 có đúng 1 nghiệm

Vậy hàm số y=f(x) không thể đồng thời có cực đại và cực tiểu

Đề đúng là \(y=mx^2+2\left(m^2-5\right)x^4+4\) chứ bạn (nghĩa là ko bị nhầm lẫn vị trí \(x^2\) và \(x^4\))

Hàm có đúng 2 điểm cực đại và 1 điểm cực tiểu khi:

\(\left\{{}\begin{matrix}2\left(m^2-5\right)< 0\\2\left(m^2-5\right).m< 0\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow0< m< \sqrt{5}\)

\(\Rightarrow\) có 2 giá trị nguyên của m thỏa mãn

\(y'=x^2+x+m\)

Để hàm có cực đại cực tiểu có hoành độ lớn hơn m thì:

\(\left\{{}\begin{matrix}\Delta=1-4m>0\\m< x_1< x_2\\\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{4}\\\left(x_1-m\right)\left(x_2-m\right)>0\\\dfrac{x_1+x_2}{2}>m\end{matrix}\right.\)

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< \dfrac{1}{4}\\x_1x_2-\left(x_1+x_2\right)m+m^2>0\\-\dfrac{1}{2}>m\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{2}\\2m+m^2>0\end{matrix}\right.\) 

\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}m< -\dfrac{1}{2}\\\left[{}\begin{matrix}m>0\\m< -2\end{matrix}\right.\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow m< -2\)